Bạn đang xem: Phương trình mặt cầu: lý thuyết & các dạng bài tập viết phương trình mặt cầu – Trường THPT Thành Phố Sóc Trăng Tại DongnaiArt

phương trình mặt cầu: lý thuyết & amp; các dạng bài tập viết phương trình mặt cầu

Phương trình mặt cầu là kiến ​​thức cơ bản của môn Toán lớp 12. Kiến thức này có trong rất nhiều câu hỏi quan trọng trong đề thi. Nhằm giúp quý thầy cô giáo và các em học sinh hiểu rõ hơn về chuyên đề này và có thêm nguồn tư liệu phục vụ quá trình dạy và học, bài viết dưới đây TP Sóc Trăng có chia sẻ. tại đây ngoài phần lý thuyết chúng tôi còn trình bày các dạng bài tập viết phương trình mặt cầu thường gặp nhất. tìm hiểu!

i. lý thuyết về một mặt cầu, phương trình của một mặt cầu

1. hình cầu là gì?

bạn đang xem: phương trình của hình cầu: lý thuyết & amp; các dạng bài tập viết phương trình mặt cầu

Trong không gian, hình cầu là quỹ tích của các điểm cách đều một điểm đã cho ở một khoảng cách không đổi. khoảng không đổi đó được gọi là bán kính. điểm đã cho được gọi là tâm của mặt cầu.

2. các loại phương trình mặt cầu

1.1 phương trình chính tắc

trong không gian oxyz cho một mặt cầu s có tâm i (a; b; c) và bán kính r. phương trình chính tắc của (các) là:

(x – a) 2 + (y – b) 2 + (z – c) 2 = r2

2.2 phương trình tổng quát

nếu a2 + b2 + c2 – d & gt; 0, thì phương trình sau là phương trình tổng quát của (các):

x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (1)

tọa độ tâm của (s) với phương trình (1) là i (a; b; c) và bán kính của (s) được tính theo công thức:

r = a2 + b2 + c2 – d

3. vị trí tương đối giữa đường thẳng và hình cầu

cho (các) mặt cầu: (x − a) 2 + (b − y) 2 + (c − z) 2 = r2 với tâm i, bán kính r và đường thẳng Δ

chúng ta có khoảng cách d từ (các) quả cầu đến đường thẳng Δ:

• d & gt; r: đường thẳng Δ không cắt (các) mặt cầu
• d = r: đường thẳng Δ tiếp tuyến với (các) mặt cầu
• d & lt; r: đường thẳng Δ cắt (các) quả cầu dọc theo hợp âm ab = √r2 – d2

4. vị trí tương đối giữa mặt phẳng và hình cầu

cho (các) mặt cầu: (x − a) 2 + (b − y) 2 + (c − z) 2 = r2 với tâm i, bán kính r và mặt phẳng (p): ax + by + cz + d = 0.

chúng tôi có:

• d (i, (p)) & gt; r: mặt phẳng (p) không cắt (các) mặt cầu.
• d (i, (p)) = r: mặt phẳng (p) tiếp tuyến với (các) mặt cầu.
• d (i, (p)) & lt; r: mặt phẳng (p) cắt mặt cầu theo giao của một đường tròn có tâm k là hình chiếu của i trên (p) và bán kính r = √r2 − d2 (i, (p))

ii. các dạng bài tập viết một phương trình bắt buộc

Bài tập viết phương trình mặt cầu thường có dạng chung sau. Đối với mỗi loại, chúng tôi chia sẻ phương pháp giải và nhiều ví dụ để bạn hiểu dễ dàng hơn.

dạng 1: xác định tâm và bán kính của mặt cầu. tìm điều kiện để phương trình khai triển trở thành phương trình của đường tròn

1. phương pháp giải quyết:

● Xét (các) phương trình: (x- a) 2 + (y- b) 2 + (z- c) 2 = r2.

khi đó mặt cầu có tâm i (a; b; c), bán kính r

● Xét (các) phương trình: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0.

điều kiện để phương trình trên là phương trình mặt cầu là: a2 + b2 + c2 – d & gt; 0

thì hình cầu có

2. ví dụ minh họa:

ví dụ 1 : (các) hình cầu: 3×2 + 3y2 + 3z2 – 6x + 12y + 2 = 0 với bán kính bằng:

hướng dẫn giải pháp:

chúng ta có (các): 3×2 + 3y2 + 3z2 – 6x + 12y +2 = 0

⇔ x2 + y2 + z2 – 2x + 4y + 2/3 = 0

đây là phương trình của đường tròn có tâm i (1; -2; 0), bán kính

ví dụ 2: cho (các) phương trình: x2 + y2 + z2 + 2 (3 – m) x – 2 (m + 1) y – 2mz + 2m2 + 7 = 0. tìm tất cả các giá trị của m để (s) là một phương trình mặt cầu.

hướng dẫn giải pháp:

ta có: a = m – 3; b = mét + 1; c = m và d = 2m2 + 7

điều kiện để (các) là hình cầu là a2 + b2 + c2 – d & gt; 0

⇔ (m- 3) 2 + (m + 1) 2 + m2 – 2m2 – 7 & gt; 0 hoặc m2 – 4m + 3 & gt; 0

chọn c.

dạng 2: viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính

2. ví dụ minh họa:

ví dụ 1: (các) mặt cầu tâm i (-1; 2; -3) và tiếp tuyến với mặt phẳng (p): x + 2y + 2z + 6 = 0 có phương trình:

a. (x- 1) 2 + (y + 2) 2 + (z- 3) 2 = 2 b. (x + 1) 2 + (y – 2) 2 + (z + 3) 2 = 4

c. (x + 1) 2 + (y -2) 2 + (z + 3) 2 = 1 d. (x + 1) 2 + (y – 2) 2 + (z + 3) 2 = 25

hướng dẫn giải pháp:

khoảng cách từ tâm i đến mặt phẳng (p) là:

Xem Thêm : Top 10 Bức Thư Tỏ Tình Hay, Không Bao Giờ Lỗi Thời Và Cách Viết

vì (các) mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (p) nên d (i; (p)) = r = 1

suy ra, phương trình của mặt cầu cần tìm là:

(x + 1) 2 + (y – 2) 2 + (z + 3) 2 = 1

chọn c.

ví dụ 2: cho các điểm a (-2, 4, 1); b (2, 0, 3) và đoạn thẳng. cho (các) mặt cầu đi qua a; b và tâm của ai trên đường thẳng d. bán kính của (các) mặt cầu bằng:

a. 3√3 b. √6 Chương 3. d.2√3

hướng dẫn giải pháp:

trung tâm i ∈d = & gt; i (1 + t; 1 + 2t; -2 + t).

= & gt; ai → (3 + t; -3 + 2t; -3 + t); bi → (-1 + t; 1 + 2t; -5 + t)

vì (các) đi qua a và b, chúng ta có ia = ib = & gt; ia2 = ib2

⇔ (3+ t) 2 + (-3+ 2t) 2 + (-3+ t) 2 = (-1+ t) 2 + (1 + 2t) 2 + (- 5+ t) 2

⇔ 9+ 6t + t2 + 9 – 12t + 4t2 + 9 – 6t + t2 = 1- 2t + t2 + 1+ 4t + 4t2 + 25 – 10t + t2

⇔ 6t2 – 12 ° + 27 = 6 ° 2 – 8 ° + 27

⇔ -4t = 0 nên t = 0

= & gt; ai → (3; -3; -3) nên ai = 3√3

khi đó bán kính của (các) hình cầu là r = ai = 3√3

chọn một.

dạng 3: lập phương trình mặt cầu tiếp tuyến với đường thẳng, với mặt phẳng và thỏa mãn điều kiện t

1. ví dụ minh họa

ví dụ 1: cho điểm a (2; 5; 1) và mặt phẳng (p): 6x + 3y – 2z + 24 = 0, h là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng (p). phương trình của (các) mặt cầu có diện tích và tiếp tuyến với mặt phẳng (p) tại h, sao cho điểm a nằm trên mặt cầu:

a. (x- 8) 2 + (y- 8) 2 + (z + 1) 2 = 196 b. (x + 82 + (y + 8) 2 + (z – 1) 2 = 196

c. (x + 16) 2 + (y + 4) 2 + (z- 7) 2 = 196 d. (x-16) 2+ (y- 4) 2 + (z + 7) 2 = 196

hướng dẫn giải pháp:

gọi d là đường thẳng đi qua a và vuông góc với (p). suy ra, vtcp của d là:

vì h là hình chiếu vuông góc của a lên (p) nên h = d ∩ (p).

vì h ∈ d, h (2+ 6t; 5+ 3t; 1-2t.

mặt khác, h (p) nên chúng ta có:

6 (2+ 6t) + 3 (5+ 3t) – 2 (1- 2t) + 24 = 0

⇔ t = – 1

vậy, h (-4, 2, 3).

gọi i và r lần lượt là tâm và bán kính của hình cầu.

Theo giả thiết rằng diện tích của hình cầu là 784π, thì sau đó 4πr2 ⇔ r = 14.

vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (p) tại h nên ih⊥ (p) = & gt; Tôi d.

do đó, tọa độ của điểm i có dạng i (2+ 6t; 5+ 3t; 1- 2t), với t ≠ -1.

theo giả thiết, tọa độ của điểm tôi thỏa mãn:

dạng 4: viết (các) mặt cầu đi qua 3 điểm a, b, c và có tâm nằm trong mặt phẳng (p) đã cho.

1. giải pháp:

phương pháp 1:

• bước 1: gọi phương trình của mặt cầu là x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (*) (với a2 + b2 + c2 – d & gt; 0)
• bước 2: điền toạ độ của bốn điểm a, b, c, d vào phương trình (*), ta được hệ 4 phương trình.
• bước 3: giải hệ trên để tìm a, b, c, d (lưu ý so sánh điều kiện a2 + b2 + c2 – d> 0). Thay a, b, c, d vào (*) ta được phương trình mặt cầu cần thiết.

dạng 2:

Bước 1: Gọi I(a, b, c) là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. Suy ra:

Bước 2: Giải hệ trên để tìm a, b, c.

bước 3: tìm bán kính r = ia. từ đó viết phương trình mặt cầu yêu cầu có dạng (x – a) 2 + (y – b) 2 + (z – c) 2 = r2

2. Ví dụ minh họa: nếu (các) mặt cầu đi qua bốn điểm m (2; 2,2); n (4, 0, 2); p (4; 2; 0) và q (4; 2; 2) thì tâm i của (s) có tọa độ:

a. (-1; -1; 0) b. (3; 1; 1) c. (1; 1; 1) d. (1, 2,1)

hướng dẫn giải pháp:

gọi phương trình của (các) mặt cầu là: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 – d & gt; 0).

làm m (2; 2; 2) ∈ (s) 22 + 22 + 22 – 2.2a- 2.2b – 2.2c + d = 0 hoặc – 4a – 4b – 4c + d = -12 (1)

vì n (4; 0; 2) ∈ (s) thì 42 + 02 + 22 – 2.4a- 2.0b – 2.2c + d = 0 hoặc – 8a – 4c + d = – 20 (2)

vì p (4; 2; 0) ∈ (s) thì 42 + 22 + 02 – 2.4a – 2.2b – 2.0.c + d = 0 hoặc – 8a – 4b + d = -20 (3)

kể từ q (4; 2; 2) (s) thì 42 + 22 + 22 – 2,4 a -2,2b – 2,2c + d = 0 hoặc – 8a – 4b – 4c + d = -24 (4)

trong tổng số (1); (hai); (3) và (4) ta có hệ phương trình:

Xem Thêm : Thông Điệp Truyền Thông Là Gì? Các Bước Viết Một Thông Điệp Truyền Thông

suy ra, (các) mặt cầu thỏa mãn có tâm i (1; 2; 1). chọn câu trả lời cho

dạng 5: viết phương trình của (các) mặt cầu có đường kính ab

1. phương pháp giải quyết :

• tìm trung điểm của ab. Vì ab là đường kính nên i là tâm của tâm ab và tâm của mặt cầu.
• tính độ dài ia = r.
• tiếp tục như dạng bài toán 1.

2. ví dụ minh họa : cho hai điểm a (-2; 1; 0) và b (2; 3; -2). phương trình của mặt cầu đường kính ab là:

a. (x + 2) 2 + (y -1) 2 + (z + 1) 2 = 8; b. x2 + (y +2) 2 + (z- 1) 2 = 10

c. x2 + (y – 2) 2 + (z + 1) 2 = 6; d. (x – 2) 2 + (y +1) 2 + (z -1) 2 = 8

giải thích:

gọi m là trung điểm của ab, tọa độ của điểm m là:

Hình cầu cần tìm có tâm m (0; 2; -1) và có bán kính r = ma = √6.

ta có phương trình mặt cầu: (x – 0) 2 + (y – 2) 2 + (z + 1) 2 = 6 hoặc x2 + (y – 2) 2 + (z + 1) 2 = 6

dạng 6. viết phương trình mặt cầu có tâm i là đường thẳng (mặt phẳng) cắt mặt cầu thỏa mãn điều kiện t.

1. phương pháp giải quyết

* phương trình của (các) mặt cầu biết tâm i và cắt đường thẳng d dọc theo hợp âm ab

• bước 1: tính khoảng cách từ tâm i đến đường thẳng d

• bước 2: dựa vào giả thiết đã cho, ta tính độ dài của hợp âm ab. suy ra độ dài ah (với h là trung điểm của ab)

• Bước 3: Tính ia theo định lý Pitago cho tam giác vuông aih. suy ra bán kính r = ia.

* phương trình của (các) mặt cầu biết tâm i và cắt mặt phẳng (p) dọc theo đường tròn giao tuyến (c)

• bước 1: tính khoảng cách từ tâm i đến mặt phẳng (p)

• Bước 2: Dựa vào giả thiết đã cho, ta tính bán kính r của đường tròn cắt nhau. suy ra bán kính của hình cầu

2. ví dụ minh họa

ví dụ 1: cho hai mặt phẳng (p): 5x – 4y + z – 6 = 0; (q): 2x – y + z +7 = 0 và đường thẳng. Viết phương trình của (các) mặt cầu có tâm i là giao điểm của (p) và ∆ sao cho (q) cắt (các) mặt cầu trong một đường tròn có diện tích 20π.

a. (x-1) 2 + y2 + (z + 1) 2 = 110/3. b. (x-1) 2 + y2 + (z -1) 2 = 110/3

c. (x- 1) 2 + y2 + (z- 1) 2 = 110/3. d. (x-1) 2 + y2 + (z – 1) 2 = 110.

hướng dẫn giải pháp:

phương trình tham số của đường thẳng:

cho rằng tâm i là giao điểm của đường thẳng ∆ và (p), tọa độ i là nghiệm của hệ phương trình:

thay (1), (2), (3) vào (4) ta được: 5 (1 + 7t) – 4. 3t + (1 – 2t) – 6 = 0

⇔ 21t = 0 t = 0

sau đó, điểm có tọa độ i (1; 0; 1).

khoảng cách từ điểm i đến mặt phẳng (q) là:

gọi r là bán kính của đường tròn giao tuyến của (s) và mặt phẳng (q). chúng tôi có:

20π = r2 ⇔ r = 2√5

gọi r là bán kính của (các) hình cầu cần tìm.

đoán:

khi đó phương trình của (các) mặt cầu cần tìm là: (x- 1) 2 + y2 + (z-1) 2 = 110/3

chọn b.

ví dụ 2: trong không gian với hệ tọa độ oxyz, cho hai điểm a (0; -1; 0); b (1; 1; -1) và (các) mặt cầu: x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 2z – 3 = 0. mặt phẳng (p) đi qua a, b và cắt (các) mặt cầu lần giao điểm là đường tròn có bán kính lớn nhất có phương trình là

a. x – 2y + 3z – 2 = 0. b. x – 2y – 3z – 2 = 0.

c. x + 2y – 3z – 6 = 0 d. 2x-y-2 = 0.

hướng dẫn giải pháp:

để (p) cắt (s) dọc theo giao điểm của đường tròn có bán kính lớn nhất thì (p) phải đi qua tâm i (1; -2; 1) của (s).

ta có ai → (1; -1; 1); bi → (0, -3, 2)

một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (p) là:

n → = [ai →; bi →] = (1; -2; -3).

mặt phẳng (p) đi qua a (0; -1; 0) và nhận vectơ n → (1; -2; -3) là vtpt, do đó có phương trình:

1 (x- 0) – 2 (y + 1) – 3 (z- 0) = 0 hoặc x- 2y – 3z – 2 = 0

chọn b.

Trên đây, chúng tôi đã giới thiệu với quý vị và các bạn về Phương trình của khối cầu: Lý thuyết & amp; các dạng bài tập viết phương trình mặt cầu. hi vọng đây là nguồn tài liệu hữu ích giúp bạn dạy và học tốt hơn. chúng tôi cũng chia sẻ bảng công thức lượng giác , bạn có thể biết thêm thông tin!

được đăng bởi: thpt luna sóc