Bạn đang xem: Bài 8: Phép đồng dạng – Lý thuyết Toán học 11 – Tìm đáp án, giải bài Tại DongnaiArt

Phép biến hình f được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm m, n bất kỳ và ảnh m’, n’ của ta có:

\(m’n’ = k.{\rm{mn}}\)

\(\left\{ \begin{array}{l}f(m) = m’\\f(n) = n’\end{array} \right .\rightarrow m’n’ = k.mn\,\,(k > 0)\)

Nhận xét:

+độ dịch chuyển là độ tương tự với k=1.

+ vị từ \({v_{\left({i,k} \right)}}\) là độ tương tự tỷ lệ\(\left| k \right|.\)

+ Mối quan hệ giữa phép dời hình, vị từ và phép đồng dạng có thể biểu diễn bằng hình sau:

Lưu ý:

Cho phép các biến vị ngữ \({v_{\left( {i;k} \right)}}\)

Độ dịch chuyển d

Ta nói f là hợp của hai phép biến hình v và d.

Hay ta có thể nói rằng f là tích của hai phép biến hình v và d.

Ký hiệu f = d.v.

Như vậy, để xác định ảnh tại điểm m bằng phép biến hình f = d.v, ta làm như sau:

• Xác định ảnh của m qua vị từ v để được ảnh\({m_1}.\)
• Xác định ảnh của \({m_1}\) bằng cách dời d ta được m’.

Ta được m’ là ảnh của m bằng cách biến đổi f=d.v.

Mỗi điểm tương đồng k-to-f là sự kết hợp của vị từ k-to-v và dịch chuyển d.

Theo định lý trên ta có kết luận sau:

Tỷ lệ tương tự k:

• Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và thứ tự của ba điểm không đổi.
• Biến đường thẳng thành đường thẳng.
• Chuyển tia thành tia.
• Chuyển một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài nhân với k (k là hệ số đồng dạng).
• Biến tam giác thành tam giác đồng dạng tỉ số k.
• Biến hình tròn bán kính r thành hình tròn bán kính kr.
• Tạo một góc bằng nó.

Nhận xét:

Xem Thêm : 34C là gì? Cách xác định và những điều liên quan đến 34C

Chúng ta đã thấy rằng các vị từ có thuộc tính “làm cho một đường thẳng song song hoặc trùng với nó”.

Độ dịch chuyển nói chung không có thuộc tính này.

Ví dụ: Xoay \(k\pi .\) với các góc xoay khác nhau

Nhưng phép đồng dạng là tổ hợp của vị từ và phép dời hình nên nó không có tính chất “biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó”.



Vị từ v với h biến đổi thành hình \({h_{1,}}\) có phép chuyển tiếp d biến đổi \({h_1}\) thành h’.

Nếu gọi f là hợp của v và d thì f là đồng dư biến h thành h’.

Ta nói hai số h và h’ đồng dạng.

Định nghĩa

Hai hình được gọi là đồng dạng nếu có một phép đồng nhất biến hình này thành hình kia.

So sánh các phép dời hình, vị từ v(o,k) và tỉ số k

– Giống như:

+ Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng (và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm).

+ biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia và góc thành góc với nó.

– Chênh lệch:

+ Dịch chuyển hình ảnh

• Sử dụng nó để tạo một đoạn thẳng.
• Sử dụng hình tam giác này để biến một hình tam giác thành một hình tam giác.
• Biến một đường tròn thành đường tròn có bán kính bằng đường tròn đã cho.

+ vị ngữ

• Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài nhân với |k|.
• Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với |k|.
• Biến đường tròn thành đường tròn bán kính |k|r.

+tương tự

• Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài nhân với k.
• Chuyển tam giác thành tam giác đồng dạng có độ đồng dạng k.
• Biến hình tròn thành hình tròn bán kính kr.

5. Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Cho đường thẳng \(d:x – y + 1 = 0,\) viết phương trình d’ là ảnh của đường thẳng d bằng cách thực hiện phép đồng dạng của phép vị tự i(1; 1), tỷ số k=2 và phép tịnh tiến vectơ\(\overrightarrow v = ( – 2; – 1).\)

Giải pháp:

Ta có \(m(0;1) \in d\)

Với i tỉ số k=2 ta có: \({v_{\left( {i;2} \right)}}(d) = {d_1}.\)

Xem Thêm : Thép Hộp 60×120

Rút ra phương trình \({d_1}\) có dạng: \(x – y + c = 0.\)

Ngược lại: \({v_{\left( {i;2} \right)}}(m) = {m_1}({x_1};{y_1}) \in {d_1} )

\( \rightarrow \overrightarrow {{{{\mathop{\rm im}\nolimits} }_1}} = 2.\overrightarrow {im} \rightarrow {m_1}\ trái({-1;1}\phải).\)

Vậy \({d_1}:x – y + 2 = 0.\)

Phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow v ,\) ta có: \({t_{\overrightarrow v }}({d_1}) = {d_2}\)

Rút ra phương trình \({d_2}\) có dạng: \(x – y + d = 0.\)

Mặt khác: \({m_1} \in {d_1} \rightarrow {t_{\overrightarrow v }}({m_1}) = {m_2}({x_2};{y_2}) \ print {d_2}\)

\( \rightarrow \overrightarrow {{m_1}{m_2}} = \overrightarrow v \rightarrow {m_2}( – 2;1).\)

Vậy \({d_2}\) có phương trình: \(x – y + 3 = 0.\)

Qua phép đồng dạng tuyến tính\(d:x – y + 1 = 0\) thành đường thẳng\({d_2}:x – y + 3 = 0.\)

Ví dụ 2:

cho đường tròn \(\left( c \right):{(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} = 4.\) để xác định ảnh của (c )) Đối xứng trục qua tâm lệch tâm, k = -2, và oy.

Giải pháp:

(c) có tâm i(1;2) và bán kính r = 2.

Gọi i’ và r’ lần lượt là tâm và bán kính của (c’), ảnh của (c) đi qua phép vị tự tâm o, có tỉ số k = -2.

Suy ra: r’ = 4.

Ta có: \({v_{\left( {o; – 2} \right)}}(i) = i’ \rightarrow \overrightarrow {oi’} = – 2 overrightarrow {oi} \)

\(\rightarrow i'( – 2; – 4)\)

Vậy phương trình của (c’) là: \({(x + 2)^2} + {(y + 4)^2} = 16.\)

Cho i”, r” lần lượt là tâm và bán kính (c’) của đường tròn (c”) đối xứng qua trục oy.

Suy ra: \(r” = 4.\)

i” = doy(i’)\( \rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{i”}} = – {x_{i ‘}} = 2\\{y_{i”}} = {y_{i’}} = – 4\end{array} \right.\)

Vậy phương trình (c”) là: \({(x – 2)^2} + {(y + 4)^2} = 16.\)